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Controlli automatici

 

• Sistemi lineari stazionari

• Modello matematico del sistema

• Modello matematico dell'ingresso

• Studio del segnale di uscita

• Evoluzione libera

• Evoluzione forzata

• Funzione di trasferimento

• Diagrammi

• Stabilità

• Regime transitorio e permanente

• Regime permanente per ingresso sinusoidale

• Regime transitorio e indici di comportamento

• Collegamento di sottosistemi

• Controllo automatico in retroazione

• Controllori PID

 

Sistemi lineari stazionari

Lo studio di un sistema richiede delle ipotesi semplificative che ci permettano di applicare le tecniche matematiche conosciute

Si richiede che il sistema da studiare sia lineare e stazionario

Lineare per poter applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi ridursi allo studio di processi elementari

Stazionario per rendere l'analisi indipendente dal tempo

 

Modello matematico del sistema

Nella forma più semplice dello studio, si considerano sistemi a un ingresso e una uscita

L'ingresso si indica con $\mathrm{u}(\mathrm{t})$

L'uscita si indica con $\mathrm{y}(\mathrm{t})$

 

Il legame tra grandezza d'ingresso u(t) e grandezza d'uscita y(t) viene descritto da una equazione differenziale:

 

$$\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}\frac{{\mathrm{d}}^{(\mathrm{i})}\mathrm{y}}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{i}}}=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{m}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}\frac{{\mathrm{d}}^{(\mathrm{i})}\mathrm{u}}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{i}}}$$

 

Si studia l'evoluzione del sistema noto $\mathrm{u}(\mathrm{t})$  per $\mathrm{t}\ge 0$ , e note le condizioni iniziali $\frac{{\mathrm{d}}^{(\mathrm{i})}\mathrm{y}}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{i}}}(0)$

 

Lo strumento matematico preferito è la trasformata di Laplace che, rispetto alla trasformata di Fourier, permette di studiare l'evoluzione di un sistema partendo da condizioni iniziali non nulle e permette di considerare anche segnali non sommabili su R

 

Modello matematico dell'ingresso

Come segnali di ingresso ci si limita (ma non è un limite) a quelli che hanno trasformate di Laplace "semplici", cioè frazioni algebriche, facilmente manipolabili.

Pertanto si considerano solo ingressi nella forma

 

$$\mathrm{u}(\mathrm{t})=\sum _{\mathrm{i}}\sum _{\mathrm{j}}{\mathrm{k}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{j}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{q}}_{\mathrm{i}}\mathrm{t}}$$

 

cioè

 

$$\mathrm{u}(\mathrm{t})=\sum _{\mathrm{i}}\sum _{\mathrm{j}}{\mathrm{k}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{j}}{\mathrm{e}}^{{\alpha }_{\mathrm{i}}\mathrm{t}}\mathrm{sen}({\beta }_{\mathrm{i}}\mathrm{t}+{\varphi }_{\mathrm{ij}})$$

 

Sono segnali sufficientemente vari per comprendere gran parte dei casi di interesse, anche se ci sono segnali di uso comune non descrivibili in questa forma

 

Studio del segnale di uscita

Nelle ipotesi fatte, l'uscita del sistema assume anch'essa una forma del tipo

 

$$\mathrm{y}(\mathrm{t})=\sum _{\mathrm{i}}\sum _{\mathrm{j}}{\mathrm{k}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{t}}^{\mathrm{j}}{\mathrm{e}}^{{\alpha }_{\mathrm{i}}\mathrm{t}}\mathrm{sen}({\beta }_{\mathrm{i}}\mathrm{t}+{\varphi }_{\mathrm{ij}})$$

 

Passando alle trasformate di Laplace si ottiene una espressione del tipo

 

$$\mathrm{Y}(\mathrm{s})=\frac{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{c}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}+\mathrm{U}(\mathrm{s})\cdot \frac{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{m}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}$$

 

dove compaiono solo frazioni algebriche (polinomi), che sono facilmente manipolabili e antitrasformabili

Lo studio diventa molto semplice

 

Per comodità, l'uscita si scompone in due parti:

• evoluzione libera

• evoluzione forzata

 

Evoluzione libera

E' l'evoluzione che si avrebbe se l'ingresso fosse nullo.

La dinamica dell'uscita dipende solo dalle condizioni iniziali

In pratica le condizioni iniziali rendono conto della presenza energetica nel sistema. A causa dell'energia accumulata, se lasciato libero di evolvere il sistema instaura una dinamica che riflette gli spostamenti di energia tra i vari componenti.

La dinamica dell'evoluzione libera dipende da come è fatto il sistema.

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{L}}(\mathrm{s})=\frac{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{c}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}$$

 

Evoluzione forzata

E' l'evoluzione che si avrebbe se il sistema fosse in quiete (scarico) e fosse sottoposto all'ingresso.

La dinamica dipende da come è fatto il sistema e dall'ingresso che lo stimola.

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{F}}(\mathrm{s})=\mathrm{U}(\mathrm{s})\cdot \frac{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{m}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}$$

 

Funzione di trasferimento

Il fattore

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})=\frac{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{m}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}{\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{i}}}$$

 

presente nel calcolo dell'evoluzione forzata viene detto funzione di trasferimento

E' una caratteristica del sistema.

Si può immaginare come la risposta del sistema ad un ingresso impulsivo unitario $\mathrm{u}(\mathrm{t})=\delta (\mathrm{t})$

La funzione associata si dice risposta impulsiva $\mathrm{w}(\mathrm{t})$

 

La funzione di trasferimento si può scrivere in vari modi in base a quali caratteristiche si vogliono evidenziare

 

Forma con zeri e poli

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})=\mathrm{A}\frac{\prod {(\mathrm{s}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{r}})}^{\mathrm{i}}}{\prod {(\mathrm{s}-{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}})}^{\mathrm{j}}}$$

 

Forma di Bode

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})=\mathrm{G}\frac{\prod {(1+{\mathrm{sT}}_{\mathrm{i}})}^{\mathrm{j}}{\left(1+2\frac{{\xi }_{\mathrm{i}}}{{\omega }_{\mathrm{i}}}\mathrm{s}+\frac{{\mathrm{s}}^2}{{\omega }_{\mathrm{i}}^2}\right)}^{\mathrm{j}}}{{\mathrm{s}}^{\mathrm{j}}\prod {(1+{\mathrm{sT}}_{\mathrm{i}})}^{\mathrm{j}}{\left(1+2\frac{{\xi }_{\mathrm{i}}}{{\omega }_{\mathrm{i}}}\mathrm{s}+\frac{{\mathrm{s}}^2}{{\omega }_{\mathrm{i}}^2}\right)}^{\mathrm{j}}}$$

 

Diagrammi

Per riuscire a manipolare concettualmente la funzione di trasferimento, si sono proposte varie rappresentazioni grafiche, alcune delle quali sono:

 

Diagramma di Bode $\left(\log \omega \mathrm{;}\log \left|\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )\right|\right)$

 

Diagramma di Nyquist $\left(\mathrm{\Re }[\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )]\mathrm{;}\mathrm{\Im }[\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )]\right)$

 

Diagramma di Nichols $\left(\mathrm{Arg}[\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )]\mathrm{;}\ln [\left|\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )\right|]\right)$

 

Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di associare alcune caratteristiche del grafico a comportamenti rilevanti del sistema.

 

Stabilità

Una caratteristica desiderabile per un sistema è la sua stabilità

Esistono varie formulazioni di stabilità, ma l'idea è quella di avere un sistema che si mantenga sotto controllo

Un sistema fuori controllo porterebbe a condizioni distruttive

Nei casi considerati la proprietà di stabilità si associa all'avere i poli della funzione di trasferimento posizionati nel semipiano complesso a parte reale negativa

 

Regime transitorio e permanente

La risposta forzata si scompone convenzionalmente in regime transitorio e regime permanente

Si vuole che la componente di regime transitorio abbia la forma dell'evoluzione libera

Si vuole che la componente di regime permanente abbia la forma dell'ingresso

Pertanto se l'ingresso ha trasformata

 

$$\mathrm{U}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{N}(\mathrm{s})}{\mathrm{D}(\mathrm{s})}$$

 

e la funzione di trasferimento è

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{s})}{\mathrm{Q}(\mathrm{s})}$$

 

allora la risposta forzata si scompone nel modo seguente:

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{F}}(\mathrm{s})=\mathrm{U}(\mathrm{s})\cdot \mathrm{W}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{N}(\mathrm{s})\cdot \mathrm{P}(\mathrm{s})}{\mathrm{D}(\mathrm{s})\cdot \mathrm{Q}(\mathrm{s})}=\frac{\mathrm{A}(\mathrm{s})}{\mathrm{Q}(\mathrm{s})}+\frac{\mathrm{B}(\mathrm{s})}{\mathrm{D}(\mathrm{s})}$$

 

ottenendo:

 

componente di uscita transitoria

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{TR}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{A}(\mathrm{s})}{\mathrm{Q}(\mathrm{s})}$$

 

componente di uscita permanente

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{RP}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{B}(\mathrm{s})}{\mathrm{D}(\mathrm{s})}$$

 

Regime permanente per ingresso sinusoidale

Particolarmente interessante è il regime permanente ad ingresso sinusoidale perchè ci consente una analisi spettrale del comportamento del sistema

 

Dato un ingresso sinusoidale

 

$$\mathrm{u}(\mathrm{t})={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{t}}=\cos ({\omega }_0\mathrm{t})+\mathrm{j}\mathrm{sen}({\omega }_0\mathrm{t})$$

 

la sua trasformata è

 

$$\mathrm{U}(\mathrm{s})=\frac{1}{\mathrm{s}-\mathrm{j}{\omega }_0}$$

 

a cui corrisponde una uscita

 

$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{RP}}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{W}(\mathrm{j}{\omega }_0)}{\mathrm{s}-\mathrm{j}{\omega }_0}$$

 

Ponendo

 

$$\mathrm{A}=\left|\mathrm{W}(\mathrm{j}{\omega }_0)\right|$$ $$\theta =\mathrm{Arg}\left[\mathrm{W}(\mathrm{j}{\omega }_0)\right]$$

 

si ha

 

$${\mathrm{y}}_{\mathrm{RP}}(\mathrm{t})=\mathrm{W}(\mathrm{j}{\omega }_0)\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{t}}=\mathrm{A}\cdot \cos \left({\omega }_0\mathrm{t}+\theta \right)+\mathrm{j}\mathrm{A}\cdot \mathrm{sen}\left({\omega }_0\mathrm{t}+\theta \right)$$

 

In pratica il sistema ha una risposta sinusoidale alla stessa frequenza. Si ha una variazione di ampiezza e fase del segnale di ingresso

 

Tramite ingressi sinusoidali a varie frequenze è possibile rilevare sperimentalmente $\mathrm{W}(\mathrm{j}\omega )$

Però questo procedimento presenta varie difficoltà, quindi si preferisce analizzare la risposta del sistema a segnali opportuni, come ad esempio il gradino

 

Regime transitorio e indici di comportamento

Il regime transitorio rende conto del comportamento del sistema alle variazioni del suo stato.

Per descrivere tale comportamento sono stati proposti vari indici di comportamento.

Questi si riferiscono sia al comportamento nel tempo che al comportamento in frequenza.

Con l'esperienza si impara a valutare il valore dato da questi indici.

 

Collegamento di sottosistemi

Si ipotizza un collegamento privo di effetti di carico (ipotesi irrealistica, ma utile)

 

Collegamento in serie: la funzione di trasferimento del sistema risultante è data dal prodotto delle funzioni di trasferimento

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})={\mathrm{W}}_1(\mathrm{s})\cdot {\mathrm{W}}_2(\mathrm{s})$$

 

Collegamento in parallelo: la funzione di trasferimento del sistema risultante è data dalla somma delle funzioni di trasferimento

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})={\mathrm{W}}_1(\mathrm{s})+{\mathrm{W}}_2(\mathrm{s})$$

 

Collegamento in retroazione negativa: la funzione di trasferimento del sistema risultante è data da

 

$\mathrm{G}(\mathrm{s})$  azione diretta

$\mathrm{H}(\mathrm{s})$  retroazione

 

$$\mathrm{W}(\mathrm{s})=\frac{\mathrm{G}(\mathrm{s})}{1+\mathrm{G}(\mathrm{s})\cdot \mathrm{H}(\mathrm{s})}$$

 

Controllo automatico in retroazione

Il controllo automatico prevede di determinare l'azione utile ad influenzare il comportamento di una grandezza

L'efficacia del controllo viene misurata sull'errore che si ottiene rispetto all'uscita desiderata

Nel controllo a catena aperta ci sono dei problemi:

• scarsa precisione nei parametri del sistema

• disturbi e rumori che alterano i segnali

• difficoltà di realizzazione del controllore

 

Si preferisce ricorrere al controllo a retroazione

Questo schema prevede di determinare l'azione di controllo non riferendosi all'ingresso di riferimento, ma all'errore rispetto all'uscita desiderata

Si ottiene un sistema complessivo meno sensibile agli errori nei parametri e ai disturbi e con un comportamento dinamico migliore

 

Controllori PID

La forma più semplice (ma meno efficace) e diffusa di controllori sono i PID

In questo controllori possiamo agire su tre azioni:

• P proporzionale

• I integratrice

• D derivatrice

 

Il controllore attua una funzione di trasferimento del tipo

 

$${\mathrm{G}}_{\mathrm{PID}}={\mathrm{K}}_{\mathrm{P}}+\frac{{\mathrm{K}}_{\mathrm{I}}}{\mathrm{s}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{D}}\mathrm{s}=\frac{{\mathrm{K}}_{\mathrm{I}}}{\mathrm{s}}\left(1+\frac{{\mathrm{K}}_{\mathrm{P}}}{{\mathrm{K}}_{\mathrm{I}}}\mathrm{s}+\frac{{\mathrm{K}}_{\mathrm{D}}}{{\mathrm{K}}_{\mathrm{I}}}{\mathrm{s}}^2\right)$$

 

Sono diffusi perchè richiedono la taratura di soli 3 parametri, raggiungibile con un po' di esperienza anche da chi non ha conoscenze approfondite in materia di controlli

Ovviamente il prezzo da pagare è la ridotta possibilità di intervento nel controllo del sistema, che tuttavia risulta essere adeguata in molti casi pratici.